La Matemática es una ciencia que, a lo largo de la historia, ha buscado representar, medir y entender el mundo que nos rodea mediante símbolos y fórmulas. Uno de los elementos claves para el desarrollo de la geometría, la teoría de conjuntos y la teoría de funciones es la pareja ordenada. ¿Qué es una pareja ordenada en Matemáticas? A continuación, vamos a explorar este concepto de forma detallada.
Definición
Una pareja ordenada es un conjunto de dos elementos que se escriben en un orden particular (x, y), donde x y y pueden ser números, letras o cualquier otro tipo de objetos matemáticos. El orden es importante, por lo que la pareja ordenada (x, y) no es igual a la pareja ordenada (y, x).
Las parejas ordenadas se pueden utilizar para representar muchos objetos y situaciones cotidianas en la Matemática. Por ejemplo, si consideramos todas las personas que tienen una altura de 1.80 metros y un peso de 70 kilogramos, podemos representar esa información con una pareja ordenada (1.80 m, 70 kg). De esta forma, las parejas ordenadas pueden ser útiles para clasificar y representar datos.
Representación gráfica
Otra forma muy común de utilizar las parejas ordenadas es para representar puntos en un plano coordinado. En un plano coordinado, la posición de un punto se determina por sus coordenadas, que corresponden a las dos parejas ordenadas.
Por ejemplo, si queremos representar el punto que se encuentra en las coordenadas (5,2), podemos ubicarlo a 5 unidades de distancia en el eje horizontal (abscisas) y 2 unidades de distancia en el eje vertical (ordenadas). Es importante destacar que cada punto en el plano coordinado se puede representar con una pareja ordenada única y viceversa.
Cómo se comparan parejas ordenadas
Para comparar parejas ordenadas, necesitamos definir cuándo dos parejas ordenadas son iguales. Una pareja ordenada es igual a otra si y solo si los primeros y segundos elementos son iguales. Por ejemplo, las parejas ordenadas (8,5) y (23,5) son iguales ya que sus primeros y segundos elementos son iguales.
Es importante recordar que el orden en el que se escriben los elementos es relevante. Si cambiamos el orden de los elementos, las parejas ordenadas pueden tener distintos valores y no ser iguales. Por ejemplo, las parejas ordenadas (2,5) y (5,2) no son iguales.
Funciones y parejas ordenadas
En Matemáticas, una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto llamado dominio un único elemento en otro conjunto llamado codominio. Una función puede ser representada mediante un conjunto de parejas ordenadas en el que cada primera entrada (x) corresponde a una única segunda entrada (y).
Por ejemplo, consideremos la siguiente función: “y = x – 3”. Para representar esta función mediante un conjunto de parejas ordenadas, podemos elegir algunos valores de x, calcular el valor correspondiente de y y escribir las parejas ordenadas. Una posible elección es (1,-2), (2,-1), (3,0), etc.
Es importante destacar que para que un conjunto de parejas ordenadas corresponda a una función matemática, no debe haber valores repetidos en la primera entrada de la pareja ordenada. Es decir, a cada valor de x le corresponde un solo valor de y.
Verificación de funciones mediante parejas ordenadas
Una forma de verificar si un conjunto de parejas ordenadas corresponde a una función es comprobar que no existen parejas ordenadas con el mismo primer elemento. En otras palabras, si hay dos parejas ordenadas con el mismo primer elemento, entonces el conjunto no corresponde a una función.
Por ejemplo, el conjunto de parejas ordenadas {(1,2), (3,5), (4,3), (2,2)} corresponde a una función, ya que no hay valores repetidos en la primera entrada. Por otro lado, el conjunto {(1,2), (3,5), (4,3), (1,3)} no corresponde a una función, ya que hay dos parejas ordenadas con el mismo primer elemento (1).
Ejemplo práctico
Supongamos que tenemos una tienda de zapatos con varios modelos de zapatos derechos y zurdos. Podemos utilizar parejas ordenadas para agrupar los zapatos en diferentes conjuntos según su modelo y su lado. Por ejemplo, si tenemos zapatos A, B y C para el pie derecho y zapatos D, E y F para el pie izquierdo, podemos representar la información con las siguientes parejas ordenadas: (A, D), (B, E) y (C, F).
Pasos para crear parejas ordenadas
Para crear parejas ordenadas, debemos seguir los siguientes pasos:
- Seleccionar los elementos para la pareja ordenada.
- Escribir el primer elemento.
- Colocar una coma después del primer elemento.
- Escribir el segundo elemento.
- Encerrar la pareja ordenada con paréntesis.
Aplicaciones en otras disciplinas
Las parejas ordenadas tienen aplicaciones en una gran cantidad de disciplinas, no solamente en Matemáticas. Por ejemplo, en ciencias sociales son utilizadas para representar parejas de datos de diferentes individuos o variables. En estadísticas, se utilizan para agrupar o clasificar datos. En informática, se usan para crear bases de datos y representar valores en programas de cálculo.
Utilidad en la evaluación educativa
Los conceptos de parejas ordenadas, funciones y planos coordinados son fundamentales para el aprendizaje de la Matemática, y su aplicación en diferentes áreas de la sociedad. Por eso, se han desarrollado herramientas digitales para facilitar la comprensión de estos temas.
Una de las herramientas desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes es un conjunto de unidades interactivas de bachillerato que apoyan el aprendizaje de Matemáticas. Estas unidades están diseñadas para que los estudiantes puedan repasar los conceptos en cualquier momento y lugar en cualquier dispositivo conectado a internet.
Detalles sobre el proyecto
El proyecto fue financiado por CONACyT y adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE en 2014. En la adaptación participaron varios editores, asesores técnicos y colaboradores. El proyecto fue actualizado en 2019 para mejorar su accesibilidad y compatibilidad con diferentes dispositivos.
Conclusión
En resumen, una pareja ordenada es un conjunto de dos elementos que se escriben en un orden específico. Son herramientas que permiten la representación gráfica de puntos en un plano coordinado y la creación de conjuntos de datos. Además, son esenciales para la comprensión de conceptos más avanzados, como las funciones.
Desde su aparición, los conceptos de parejas ordenadas han revolucionado la forma en que los matemáticos ven y modelan el mundo que nos rodea. Las parejas ordenadas son una herramienta básica para cualquier persona que quiera incursionar en la Matemática y sus aplicaciones.
