En matemáticas, específicamente en el cálculo integral, una de las nociones fundamentales es la de la función primitiva o antiderivada. Esta es una función que, al ser derivada, da como resultado la función original. Una forma más sucinta de definir la función primitiva, que también es muy útil, es decir que es el inverso de la derivada. En otras palabras, la función primitiva es, por tanto, el conjunto de funciones cuya derivada es la función dada inicialmente.
Las primitivas o antiderivadas
Dada una función f(x), se dice que la función F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) si F'(x) = f(x). Como esta igualdad muestra, la derivada de una primitiva o antiderivada dada es la función original. En otras palabras, la antiderivada es simplemente la inversa de la derivada en el cálculo integral. En esta rama de la matemática, la notación $\int$ se utiliza para denotar la busqueda de una función primitiva.
Ejemplo sobre F(x) como primitiva de f(x)
Para dejar más claro lo anterior, imaginemos que f(x) es una función polinómica, por ejemplo, $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$. El objetivo es encontrar una función F(x) tal que su derivada sea $f(x)$. Para hacer esto, simplemente integremos la función $f(x)$, lo que nos da una posible antiderivada de $F(x)$.
Para realizar este proceso, se emplea una propiedad fundamental de la integración que establece que la integral de un polinomio a través de una potencia de x es igual a la suma de cada término del polinomio elevado a su potencia correspondiente dividido por esa misma potencia.
Entonces, la antiderivada o primitiva de la función dada no es única, ya que cualquier función que se diferencie con F(x) en una constante, es decir, una función F(x) + c, es también una antiderivada de f(x). La constante de integración “+c” es un número real arbitrario que se agrega al final de la integral cuando no se especifica ninguna condición inicial.
Las Primitivas y su relación con la constante C
¿Qué es la constante de integración? Bien, se agrega para recordarnos que hay una familia de funciones primitivas o antiderivadas posibles para una función dada f(x). Además, si tenemos dos funciones F1 (x) y F2 (x) en las que F1′(x) = F2′(x), entonces la diferencia entre las dos funciones es una constante real “C”, es decir, F1(x) – F2(x) = C. Esta propiedad nos permite establecer una diferencia entre dos antiderivadas de una función dada, lo que podemos traducir como una manera de encontrar todas las primitivas de una función.
Las primitivas definidas y no definidas
Cuando una función primitiva tiene una constante de integración, se la llama primitiva no definida. Por otro lado, cuando una función primitiva tiene un valor específico en un punto dado, es una primitiva definida. Esta última es el resultado de una operación más específica conocida como integral definida.
Las propiedades de la Integración y la Derivación
Una propiedad importante de la derivada y la integración es que ambas se cancelan entre sí. Más concretamente, si una función f(x) se integra y se deriva, se vuelve a la función original. Lo mismo ocurre en sentido contrario: si una función f(x) se deriva y luego se integra, el resultado es otra vez la función original. Esto se debe a la fórmula fundamental: la derivada de la integral de una función es solo la función original.
La suma de las antiderivadas y la integral de una constante
Una propiedad muy importante de las antiderivadas es que la suma de dos antiderivadas de una función especifica es también una antiderivada de dicha función y se puede determinar por la suma de las constantes. Además, si f(x) es una constante, la integral de f(x) a lo largo de todo el intervalo de integración es igual a la constante multiplicada por la longitud del intervalo de integración.
Técnicas de integración
En el cálculo integral, existen diferentes técnicas para encontrar una función primitiva. Una de ellas es la integración por partes, que se utiliza para calcular la integral de un producto de dos funciones. También existe la técnica de integración por sustitución o de cambio de variable, que se utiliza para integrar funciones que presentan estructura algebraica más compleja. Otro caso especial de integración es el de las funciones periódicas, que se resuelve mediante el método de Fourier.
La integración por partes
La resolución de una integral utilizando la técnica de integración por partes implica que se asigne un valor de x a u y otro valor a dv de acuerdo a las siglas LIATE. Luego, el objetivo es encontrar una forma de reducir la integral más compleja con una primitiva más simple. Este enfoque se basa en una regla simple de la derivación:
- Si $f(x) = (a_n)x^{n} + (a_{n-1})x^{n-1} + \cdots+ a_{1}x + a_0$ entonces $f^{‘}(x) = n(a_n)x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1$.
Lo anterior nos sirve para elegir uno de los dos factores de la función para ser diferenciado y el otro para ser integrado. Todo con el fin de llegar a una integral que sea más fácil de resolver que la inicial.
La integración por sustitución
El método de cambio de variable o sustitución es otra técnica de integración en la que se cambia la variable independiente de la integral de forma que esa variable sea sustituida por otra expresión que facilite la resolución de la integral. La sustitución más común se realiza para la variable que se encuentra dentro de una función determinada. Por ejemplo, si se tiene una integral de la forma $\int x\sqrt[3]{x^2+1}dx$, la función $\sqrt[3]{x^2+1}$ puede ser sustituida por otra variable “u”.
La integración de funciones periódicas
En la integración de funciones periódicas, se utiliza el método de Fourier, que se basa en la descomposición de una función periódica en una serie de funciones sinusoidales (senos y cosenos) que son armónicos y corresponden a pulsaciones o frecuencias de la onda periódica original. Esta técnica se usa para resolver problemas en ingeniería, física y matemáticas aplicadas en los cuales se presentan funciones que se repiten con regularidad.
¿Para qué se utiliza la función primitiva?
La función primitiva tiene aplicaciones en muchas disciplinas, como la física, la ingeniería y la economía, entre otras. En la física, por ejemplo, la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. En este caso, si se conoce la aceleración, se puede encontrar la velocidad y si se conoce la velocidad, se puede encontrar la posición.
Ejemplo de la función primitiva en la física
Un ejemplo más concreto es imaginar un objeto que cae de una determinada altura bajo la acción de la fuerza de la gravedad. Se puede calcular la velocidad del objeto en cualquier instante usando el conocimiento de la aceleración debido a la gravedad (cambio de velocidad por unidad de tiempo) y la integración de la aceleración. En este caso, la velocidad es la función primitiva de la aceleración.
La función primitiva en la geometría
En cuanto a la geometría, la integración se utiliza para encontrar el área bajo una curva o la longitud de una curva dada. La derivada es la pendiente de una curva, mientras que la integral es el área bajo la curva.
Ejemplo de la función primitiva en la geometría
Imaginemos que queremos encontrar la longitud de una parte de una curva dada por una función en el plano cartesiano. Primero, debemos expresar la longitud de la curva como una integral y luego encontrar la antiderivada de la función para finalmente conocer la longitud de la porción deseada de la curva.
La función primitiva en la economía
En la economía y en otros campos relacionados, la función primitiva puede ser utilizada para encontrar un nivel de equilibrio, es decir, una solución para un sistema de ecuaciones que establece que la tasa de crecimiento de una variable es igual a cero.
Aplicaciones de la función primitiva en la economía
Por ejemplo, imagine una empresa cuyos ingresos son una función de la cantidad de bienes producidos. Si conocemos esta función, podemos encontrar la tasa de crecimiento cero de los ingresos y la cantidad de bienes correspondiente que nos generará el equilibrio financiero deseado. Esto es solo un ejemplo, pero muestra cómo la función antiderivada o primitiva puede ayudarnos a encontrar soluciones óptimas en diferentes áreas.
Conclusión
La función primitiva o antiderivada es una herramienta imprescindible en el cálculo integral. En síntesis, es una función que al ser derivada, devuelve la función dada inicialmente. En la resolución de una integral existen diferentes técnicas, como la integración por sustitución y por partes, y se utilizan en las áreas de la física, la geometría y la economía, entre otras. Como vemos, la función primitiva es un elemento clave en muchos campos de la matemática y es casi imposible avanzar en ellos sin ella.
