La integración es una de las áreas más interesantes de las matemáticas. Cuando hablamos de resolver integrales, la tarea puede volverse desafiante de manera rápida. No obstante, hay varias técnicas y métodos para resolver integrales que pueden facilitar la tarea. Uno de ellos es ILATE.
¿Qué es ILATE?
El acrónimo ILATE representa las cinco categorías de funciones que se utilizan para la técnica de integración por partes. Cada letra representa una función diferente.
- I: Funciones inversas
- L: Funciones logarítmicas
- A: Funciones algebraicas
- T: Funciones trigonométricas
- E: Funciones exponenciales
La técnica ILATE es útil cuando necesitamos resolver una integral que no se puede resolver con facilidad. El objetivo de esta técnica es transformar la integral dada en otra más sencilla.
La Regla de Integración por Partes
La regla de integración por partes se utiliza para integrar un producto de dos funciones. Esta regla es útil cuando no podemos resolver la integral directamente. La fórmula de integración por partes es la siguiente:
\int u dv = u v – \int v du
Donde:
- u representa la primera función
- dv representa la segunda función diferenciada
- du representa la primera función diferenciada
- v representa la integral de dv
El objetivo es aplicar esta fórmula para resolver nuestras integrales. Para usar esta fórmula, debemos elegir qué función es u y cuál es dv.
Ejemplos de ILATE en la integración por partes
Veamos algunos ejemplos para ilustrar cómo funciona la técnica de integración por partes junto con el uso de ILATE.
Ejemplo 1: Función algebraica y trigonométrica
Supongamos que deseamos integrar la siguiente expresión:
\int x cos(x) dx
En este caso, debemos elegir u y dv. Elegimos u = x y dv = cos(x) dx. Diferenciamos u y obtenemos :
du = dx
Integramos dv y obtenemos:
v = sin(x)
Sustituimos los valores en la fórmula general de integración por partes:
\int u dv = u v – \int v du = x sin(x) – \int sin(x) dx
Finalmente, resolvemos la integral restante y obtenemos:
\int x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C
Ejemplo 2: Función exponencial y función algebraica
Ahora veamos cómo resolver la siguiente integral:
\int e^x x^2 dx
Nuevamente, debemos elegir una función como u y otra como dv. En este caso, elegimos u = x^2 y dv = e^x dx. Diferenciamos u:
du = 2x dx
Integramos dv y obtenemos:
v = e^x
Ahora, sustituimos los valores en la fórmula de integración por partes:
\int u dv = u v – \int v du = x^2 e^x – \int 2x e^x dx
Para resolver la integral restante utilizamos la fórmula para integrales de la forma v^n dv:
\int x e^x dx = e^x(x – 1) + C
Sustituimos y simplificamos para obtener el resultado final:
\int e^x x^2 dx = e^x(x^2 – 2x + 2) + C
Ejemplo 3: Función logarítmica
Finalmente, consideremos la siguiente función:
\int ln(x) dx
Para esta función, elegimos u = ln(x) y dv = dx, por lo que:
du = \dfrac{dx}{x}
Integramos dv:
v = x
Sustituimos los valores en la fórmula de integración por partes:
\int u dv = u v – \int v du = xln(x) – \int 1 dx
Finalmente, resolvemos la integral restante para obtener:
\int ln(x) dx = x ln(x) – x + C
Tips adicionales para utilizar la regla de integración por partes
La regla de integración por partes puede simplificar la tarea de resolver integrales difíciles. Aquí hay algunos consejos adicionales que debes tener en cuenta:
- Aplica la regla de integración por partes varias veces si es necesario
- Toma la función u como una función logarítmica o arcotangente si estas aparecen en la integral
- Integra por partes toda la integral si en el segundo miembro de la expresión aparece la misma integral que se debe calcular.
La integración por partes es una técnica poderosa que puede ayudarte a resolver integrales complejas. Con la ayuda de ILATE y la fórmula de integración por partes, puedes resolver incluso integrales que parecen imposibles de resolver. Así que anímate a aprender esta técnica y a resolver tus integrales de manera más sencilla.
