Las funciones polinomiales son aquellas en las que la variable independiente se eleva a potencias enteras y su coeficiente es un número real. En este tipo de funciones, es común que se busque saber cuál es el máximo y el mínimo valor que toma. Pero, ¿qué significa esto? En este artículo te explicaremos detalladamente todo lo que debes saber sobre los máximos y mínimos de una función polinomial, así como los criterios y fórmulas necesarias para su cálculo.
Conceptos básicos
Antes de comenzar a hablar sobre los máximos y mínimos de una función polinomial, es importante definir algunas ideas básicas. En matemáticas, cuando se habla de una función, se refiere a una relación entre dos conjuntos numéricos, que son el dominio (donde se define la función) y la imagen (los valores que puede tomar la función). El valor de la función en un determinado punto del dominio se representa por la letra f(x).
Por otro lado, el máximo y el mínimo de una función son los valores más grandes o pequeños que toma en su dominio. Es decir, son los puntos más altos y más bajos de la función. A su vez, existen dos tipos de máximos y mínimos, que son los extremos locales (también conocidos como máximos y mínimos relativos) y los extremos globales (también llamados máximos y mínimos absolutos).
Extremos locales
Cuando hablamos de los extremos locales de una función, nos referimos al mayor o menor valor que puede tomar en un intervalo cercano a un punto determinado. Es decir, es el valor más alto o más bajo de la función en una pequeña porción de su dominio:
En la imagen anterior, se puede ver el gráfico de una función con un máximo local en el punto A. Como se puede observar, en una pequeña porción alrededor del punto A, no existe otro valor mayor al que se encuentra en ese punto. De igual manera, el mínimo local es el valor más bajo que puede tomar en una porción de su dominio:
En este último caso, se puede observar que hay valores menores que el punto B donde se encuentra el mínimo, pero solamente alrededor de él.
Extremos globales
Por otro lado, cuando nos referimos a los extremos globales de una función polinomial, hablamos del mayor o menor valor que toma en todo su dominio. Es decir, son los puntos más altos y más bajos de la función en todo su intervalo de definición.
Por ejemplo, considera la función polinomial f(x) = 3x^3 – 2x^2 + 4. Si se grafica esta función, se obtiene el siguiente resultado:
En este caso, se puede observar que el máximo global de la función se encuentra alrededor de x = -0.18, y su valor es aproximadamente 4.26. Este valor es mayor que cualquier otro valor que se pueda obtener en todo su dominio. Por otro lado, el mínimo global de la función es aproximadamente -0.91 y se encuentra en x = 1.26.
Cómo calcular los extremos locales
Existen diversos métodos para calcular los extremos locales de una función polinomial, entre ellos el uso de la derivada y del estudio del crecimiento y decrecimiento de la función. A continuación, te presentamos los criterios necesarios para identificar estos extremos y dos diferentes ejemplos paso a paso.
Criterios para el cálculo de los extremos locales
Para calcular los extremos locales de una función polinomial se utilizan dos conceptos importantes, la derivada y el estudio de la monotonía de la función en su dominio.
En cuanto a la derivada, se puede definir de la siguiente forma: Sea f(x) una función polinomial de grado n definida en un intervalo (a, b). Si se define la función f'(x) como la derivada de f(x), entonces f'(x) es una función polinomial de grado n-1. Es decir:
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + … + a_n*x^n
f'(x) = a_1 + 2a_2*x + 3a_3*x^2 + … + na_n*x^n-1
Donde a_0, a_1, a_2, …, a_n son los coeficientes de la función polinomial f(x).
Por otro lado, para el estudio de la monotonía de una función, se deben identificar los puntos críticos (aquellos donde la derivada es igual a cero o no existe), y a partir de allí, estudiar el signo de la primera derivada en cada intervalo determinado por los puntos críticos y los extremos del dominio de la función. Si la primera derivada es positiva, la función es creciente en ese intervalo, y si es negativa, la función es decreciente en ese intervalo.
Ejemplo 1
Con el propósito de explicar de manera sencilla cómo se pueden calcular los extremos locales de una función polinomial, se presentará el siguiente ejemplo paso a paso:
Sea f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 3. En primer lugar, se calcula la derivada de esta función:
f'(x) = 3x^2 – 12x + 9
Después, se hallan los puntos críticos igualando la derivada a cero:
3x^2 – 12x + 9 = 0
Resolviendo la ecuación se obtiene que: x=1 y x=3 son los puntos críticos. Para determinar si son máximos o mínimos, se debe estudiar el signo de la segunda derivada en cada intervalo determinado por los puntos críticos y los extremos del dominio de la función.
Primero, se encuentra la segunda derivada de la función:
f”(x) = 6x – 12
Ahora, se estudia el signo de la segunda derivada en cada intervalo:
- Si x < 1, entonces f”(x) es negativa y por lo tanto el punto crítico x=1 es un máximo local.
- Si 1 < x < 3, entonces f”(x) es positiva y por lo tanto el punto crítico x=1 es un mínimo local.
- Si x > 3, entonces f”(x) es positiva y por lo tanto el punto crítico x=3 es un mínimo local.
De esta manera, se puede concluir que la función tiene dos extremos locales, un máximo y un mínimo, que se encuentran en los puntos (1,-3) y (3,3), respectivamente.
Ejemplo 2
A continuación, se presenta otro ejemplo para calcular los extremos locales de una función polinomial de manera diferente:
Sea f(x) = 3x^3 + x^2 – 6x + 2/x. En este caso, la función tiene un punto crítico en x=0, por lo que se debe estudiar la función en el intervalo (-∞,0) y en el intervalo (0,∞).
Estudio de la función en el intervalo (-∞,0)
En este intervalo, la función es decreciente, ya que se puede observar que si se mueve de izquierda a derecha, la función va disminuyendo.
Además, la función es continua en el intervalo mencionado, por lo que se puede concluir que en ese intervalo existe un máximo local.
Estudio de la función en el intervalo (0,∞)
En este intervalo, la función es creciente. Además, la función es continua en este intervalo, por lo que se puede concluir que en este intervalo existe un mínimo local.
De esta manera, se puede concluir que la función tiene un máximo local en (-∞, f(x)) y un mínimo local en (0, f(x)).
Cómo calcular los extremos globales
En el caso de los extremos globales, existen diversas fórmulas y criterios que se pueden utilizar. El más común es el llamado teorema de los valores extremos, que establece que toda función continua definida en un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo global, que pueden encontrarse en los bordes de ese intervalo o en uno o varios puntos críticos.
En otras palabras, cuando una función es continua y está definida en un intervalo cerrado, es posible determinar tanto el máximo como el mínimo global de la función. Para hacerlo se deben seguir los siguientes pasos:
- Encontrar todos los puntos críticos de la función.
- Encontrar los extremos del intervalo definido por la función.
- Evaluar la función en cada punto crítico y en los extremos del intervalo.
- El mayor de los valores obtenidos será el máximo global y el menor será el mínimo global.
Ejemplo
Para poner en práctica el teorema de los valores extremos, se utilizará la función f(x) = x^4 – x^3 + 2x^2 – 5x + 6 en el intervalo [-1,5]:
En primer lugar, se encuentran los puntos críticos de la función:
f'(x) = 4x^3 – 3x^2 + 4x – 5
Una vez se soluciona la derivada, se obtiene que los puntos críticos son x=-1 y x=1. En segundo lugar, se encuentran los extremos del intervalo, que son -1 y 5. Por último, se debe comparar el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos. Se obtienen los siguientes resultados:
- f(-1) = 5
- f(1)=3
- f(-5) = 1166
- f(5) = 146
De esta manera, se puede concluir que el máximo global de la función se encuentra en x=-5, y su valor es 1166. Por otro lado, el mínimo global se encuentra en x=1 y su valor es 3.
Conclusión
En fin, los máximos y mínimos de una función polinomial son los valores más altos y más bajos que puede tomar en su dominio. Cuando estos valores solo son los más extremos en un punto determinado, se conocen como extremos locales o
