Cuando pensamos en experimentos aleatorios, una de las cuestiones fundamentales que debemos resolver es la determinación de todos los posibles resultados de ese experimento, es decir, definir el espacio muestral. No obstante, existen otro términos importantes que debemos conocer, como la cardinalidad, que es la cantidad de elementos que conforman el espacio muestral.
El espacio muestral
Antes de entrar en detalles sobre la cardinalidad, es importante entender el concepto de espacio muestral. Un espacio muestral es simplemente el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Por ejemplo, si tiramos una moneda al aire, los posibles resultados son cara o cruz, y la lista de estos resultados es el espacio muestral.
Es importante destacar que el espacio muestral puede tener elementos que no sean consecutivos ni numéricos, como es el caso de las letras, signos, símbolos, colores, etc. Solo necesitamos definir qué resultados son posibles y cuáles no lo son, para armar nuestro espacio muestral.
Cardinalidad de un espacio muestral
La cardinalidad no es más que la cantidad de elementos que conforman el espacio muestral, y se representa con la letra n. En otras palabras, podemos decir que la cardinalidad es el número de elementos que pueden resultar de un experimento aleatorio.
Es importante destacar que la cardinalidad debe incluir todos los posibles resultados del espacio muestral, incluso si estos son resultados que no nos interesan. Un ejemplo común es si lanzamos dos dados: el espacio muestral tendría como mínimo los resultados del primer dado y los del segundo dado, pero también incluiría los resultados de la suma de los dos dados, que no serían necesarios en un experimento de este tipo.
Experimentos simples y compuestos
Es importante destacar que existen experimentos simples y experimentos compuestos. Los experimentos simples solo tienen un resultado posible, como lanzar una moneda o un dado. Los experimentos compuestos tienen múltiples resultados, como lanzar dos dados.
Cuando se trata de un experimento simple, la cardinalidad es simplemente el número de resultados posibles. Por ejemplo, la cardinalidad del experimento de lanzar una moneda es 2, ya que solo existen dos posibles resultados: cara o cruz.
Experimentos compuestos
En el caso de un experimento compuesto, la situación es más compleja. Por ejemplo, si lanzamos dos dados, podemos obtener toda una variedad de resultados diferentes. Para entender cómo funciona la cardinalidad en un experimento de este tipo, lo mejor es trabajar con un ejemplo concreto:
Suponga que lanzamos dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6. Un valor posible para el primer dado es {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y lo mismo ocurre para el segundo dado. Por lo tanto, el número de posibles resultados del experimento es:
6 (para el primer dado) * 6 (para el segundo dado) = 36 posibles resultados
Así, en este caso, la cardinalidad del espacio muestral es 36.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa es un concepto muy importante al trabajar con espacios muestrales y experimentos aleatorios. La frecuencia relativa de un evento es la cantidad de veces que un evento ocurre dividido por el número total de posibles resultados en el espacio muestral. Es decir, la frecuencia relativa indica la probabilidad de que un evento ocurra.
La fórmula para calcular la frecuencia relativa es:
Frecuencia relativa: n(A) / n(S)
Donde n(A) es la cardinalidad del evento de interés, que representa la cantidad de veces que ocurrió un evento específico, y n(S) es la cardinalidad del espacio muestral total, que representa la cantidad de posibles resultados.
¿Qué eventos son relevantes para la cardinalidad?
No todos los eventos dentro de un espacio muestral tienen el mismo impacto en la cardinalidad. Es importante determinar cuáles son los eventos relevantes a la hora de determinar la cardinalidad. En general, un resultado es relevante si no puede ser descrito como una combinación de otros resultados.
Por ejemplo, en el caso de lanzar dos dados, el evento en que la suma de los dos dados sea 7 es relevante, ya que es un evento específico y no puede ser descrito como la combinación de otros resultados. Sin embargo, el evento en que se obtiene el mismo número en ambos dados no es relevante, ya que puede ser descrito como la combinación de varios resultados.
Ejemplo de cálculo de la frecuencia relativa
Supongamos que lanzamos dos monedas. El espacio muestral para este experimento incluirá cuatro posibles resultados: (cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz).
Supongamos que queremos calcular la frecuencia relativa de un evento específico, G, en el que ambas monedas muestran cara (es decir, el resultado (cara, cara)). Para determinar esto, simplemente contamos cuántas veces ocurre el evento G (1) y lo dividimos por la cantidad total de posibles resultados en el espacio muestral (4):
Frecuencia relativa de G = 1/4 = 0,25 = 25%
De esta manera, podemos decir que la probabilidad de que ambas monedas muestren cara es del 25%.
La importancia de las fracciones y los números decimales
Es importante notar que la frecuencia relativa puede expresarse como una fracción o un número decimal. En algunos casos, puede ser más conveniente trabajar con fracciones y en otros con decimales. Los matemáticos suelen utilizar decimales porque nos permiten comparar las probabilidades de manera más sencilla.
Sucesos aleatorios
Un suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Un suceso aleatorio puede ser una sola variable o un conjunto de variables articuladas por una conjunción, disyunción, negación, condición, etc.
Por ejemplo, un suceso aleatorio en el experimento de lanzar un dado es que la cara superior del dado sea un número par.
Ejemplo de espacio muestral discreto e infinito
Supongamos que lanzamos un dado hasta que salga un seis. El espacio muestral para este experimento es un espacio muestral discreto e infinito y consta de un número infinito numerable de elementos.
Los posibles resultados de este experimento son cada uno de los lanzamientos hasta que sale el número seis. Por ejemplo, el primer lanzamiento podría ser cualquier número del 1 al 5, el segundo lanzamiento podría ser nuevamente cualquier número del 1 al 5, y así sucesivamente. El espacio muestral sería algo así:
E = {6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 116, 126, …, ∞}
Cardinalidad del espacio muestral continuo
En el caso de un espacio muestral continuo, la cardinalidad será un número infinito no numerable de elementos. Por ejemplo, el espacio muestral de todas las posibles medidas de los espárragos extraídos aleatoriamente de una determinada población es un espacio muestral continuo. Como dichas medidas pueden tomar infinitos valores, la cardinalidad de este espacio muestral es infinita e incontable.
Distinción entre eventos y sucesos
Es importante distinguir entre eventos y sucesos. Los sucesos son subconjuntos del espacio muestral, y los eventos son subconjuntos de sucesos. Por ejemplo, si el espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el suceso es que el resultado del lanzamiento del dado sea impar, el evento es que el resultado del lanzamiento sea 3 o 5.
Ejemplo de experimento con sucesos
Supongamos que tenemos una bolsa con 10 bolas, de las cuales 5 son blancas y 5 son negras. Si extraemos al azar tres bolas consecutivas sin reposición, es decir, extraemos una, luego otra, y luego otra sin retornarlas a la bolsa, el espacio muestral de nuestro experimento es:
E = {(b,b,b), (b,b,n), (b,n,b), (n,b,b), (b,n,n), (n,b,n), (n,n,b), (n,n,n)}
Si queremos calcular la frecuencia relativa de que se extraigan tres bolas del mismo color, el evento es:
A = {(b,b,b), (n,n,n)}
Para determinar la frecuencia relativa de A, calculamos la cardinalidad de A y la cardinalidad de E:
n(A) = 2
n(E) = 8
Por lo tanto, la frecuencia relativa de A es:
n(A)/n(E) = 2/8 = 0,25 ó 25%
Otros sucesos aleatorios
Otro ejemplo: el suceso aleatorio de que se extraigan al menos dos bolas blancas es:
B = {(b,b,n), (b,n,b), (n,b,b), (b,n,n), (n,b,n), (n,n,b), (b,b,b)}
La cardinalidad de este suceso aleatorio es:
n(B) = 7
Por lo tanto, la frecuencia relativa de que se extraigan al menos dos bolas blancas es:
n(B)/n(E) = 7/8 = 0,87 ó 87%
Conclusión
En resumen, la cardinalidad es el número de elementos que conforman el espacio muestral, y es vital para determinar la frecuencia relativa de un evento y su probabilidad. Entender la cardinalidad y cómo se relaciona con un experimento aleatorio nos permitirá calcular la probabilidad de que un evento específico ocurra y responder otras preguntas importantes al trabajar con experimentos aleatorios.
