Las matemáticas son tan antiguas como la humanidad misma. Desde que el ser humano comenzó a razonar sobre las cantidades y las formas, las matemáticas han estado presentes. Pero más allá de su antigüedad, las matemáticas también son muy complejas. Todavía hoy en día, resultan difíciles de entender para muchas personas. Una de las ramas más interesantes, pero también más complejas, de las matemáticas, es la teoría de las sucesiones numéricas.
¿Qué es una sucesión numérica?
Una sucesión numérica es una serie de números o expresiones matemáticas que siguen una regla establecida. Es decir, una sucesión es una lista de números que están relacionados de alguna manera. Por ejemplo, la lista de los números 2, 4, 6, 8, 10, 12, etc. es una sucesión numérica. La relación entre estos números es que cada uno es el doble del anterior.
Las sucesiones numéricas son muy importantes en las matemáticas, no solo porque se utilizan en muchas ramas, sino también porque tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida cotidiana. Por ejemplo, la disposición de los asientos en un cine, la altura de rebote de una pelota y el desarrollo de software.
¿Qué diferencia existe entre sucesión aritmética y sucesión geométrica?
Hay varios tipos de sucesiones numéricas, pero dos de las más importantes son la sucesión aritmética y la sucesión geométrica.
Las sucesiones aritméticas son aquellas en las que cada término es la suma del término anterior más un número constante, al que llamamos diferencia y denotamos por d. Es decir, cada término en una sucesión aritmética “crece” o “disminuye” en una cantidad constante. Por ejemplo, la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, … es una sucesión aritmética porque cada término se obtiene sumando dos al término anterior.
Por el otro lado se encuentra la sucesión geométrica que es aquélla en la cual el cociente entre dos términos consecutivos es una constante llamada razón r y puede ser positiva o negativa. Por ejemplo: Sea la sucesión 5, 15, 45, 135, 405, 1215, 3645… es una sucesión geométrica porque cada término es multiplicado por la misma contante, que es 3.
Características de la sucesión aritmética
Las sucesiones aritméticas son aquellas en que la diferencia común entre dos términos consecutivos es la misma, y que si se toman dos términos consecutivos de cualquiera de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia.
En una sucesión aritmética, cada término se obtiene sumando un número constante al término anterior, y ese número se denomina “diferencia”. De esta forma, cada término en una sucesión aritmética “crece” o “disminuye” en la misma cantidad, dependiendo de si la diferencia es positiva o negativa.
Características de la sucesión geométrica
Las sucesiones geométricas son aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón o factor. La sucesión geométrica es esencialmente una especie de progresión aritmética, pero en lugar de sumar una constante, se multiplica por ella.
La razón común es positiva si cada término es mayor que el anterior. En este caso, la sucesión se llama “geométrica creciente”. Si, por el contrario, cada término es menor que el anterior, la razón común es negativa y la sucesión se llama “geométrica decreciente”.
Formulas generales de las sucesiones aritméticas y geométricas
En una secuencia aritmética, cada término se obtiene sumando a un número constante al término anterior, y ese número se denomina “diferencia”. La fórmula general para encontrar cada término de una sucesión aritmética es: a, a+d, a+2d, a+3d, etc., donde “a” es el primer término y “d” es la diferencia común.
Por el otro, cada término de una sucesión geométrica se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada “razón”. La fórmula general para encontrar cada término de una sucesión geométrica es: a, ar, ar², ar³, etc., donde “a” es el primer término y “r” es la razón común.
¿Cuál es la diferencia entre sucesiones y progresiones?
Una sucesión numérica es una lista de números que están relacionados de alguna manera, mientras que una progresión es una sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante.
Diferencia en una progresión aritmética
En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos de cualquiera de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia. Una progresión aritmética tiene una diferencia constante que se suma a cada término.
Diferencia en una progresión geométrica
En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón o factor. Una progresión geométrica tiene una razón constante que se multiplica con cada término.
Aplicaciones de las sucesiones aritméticas y geométricas
Como ya se ha mencionado, las sucesiones aritméticas y geométricas tienen aplicaciones prácticas en muchos aspectos de la vida cotidiana. A continuación, algunos ejemplos:
- Disposición de los asientos en un cine: La disposición de los asientos en un cine suele seguir una sucesión aritmética o geométrica en función del tamaño de la sala y de la cantidad de filas y columnas disponibles.
- Altura de rebote de una pelota: Cuando una pelota rebota, su altura disminuye a medida que pierde energía. La altura de cada rebote sigue una sucesión geométrica en función de la energía inicial y de la altura de la caída.
- Desarrollo de software: En el desarrollo de software, las sucesiones se utilizan para generar números aleatorios, lo que es necesario en muchos programas de juegos o simulaciones.
Ejemplos de sucesiones aritméticas y geométricas
A continuación, se presentan cinco problemas que involucran la resolución de sucesiones aritméticas y geométricas:
Problema 1:
Se conoce el sexto término de una sucesión aritmética y su diferencia común. Calcular el término general y los primeros cinco términos de la sucesión.
Solución:
Sea an el término general de la sucesión:
an = a1 + (n – 1)d
Donde:
a1 es el primer término de la sucesión.
d es la diferencia común.
Si se conoce el sexto término de la sucesión (a6), se puede definir la siguiente ecuación:
a6 = a1 + 5d
Despejando a1 de la ecuación anterior, se obtiene:
a1 = a6 – 5d
Ahora se puede escribir la sucesión:
a1, a2, a3, a4, a5, a6
sustituyendo la expresión encontrada para a1:
a6 – 5d, a6 – 4d, a6 – 3d, a6 – 2d, a6 – d, a6
Así, la sucesión resultante es:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, etc.
Problema 2:
Se conocen el primer y cuarto término de una sucesión geométrica. Calcular el término general y la suma de los cinco primeros términos de la sucesión.
Solución:
Sea an el término general de la sucesión:
an = a1 * r^(n-1)
Donde:
a1 es el primer término de la sucesión.
r es la razón común.
Si se conocen el primer y cuarto término de la sucesión, se puede establecer un sistema de ecuaciones:
a1 * r^3 = cuarto término
a1 * r^0 = primer término
Dividiendo la primera ecuación entre la segunda, se tiene:
r^3 = cuarto término / primer término
Tomando la raíz cúbica en ambos lados:
r = (cuarto término / primer término)^(1/3)
Conocida la razón común, se puede encontrar el primer término. Usando la ecuación original:
a1 * r^3 = cuarto término
Se puede despejar a1:
a1 = cuarto término / r^3
Por lo tanto, el término general es:
an = (cuarto término / r^3) * r^(n – 1)
La suma de los cinco primeros términos es:
S5 = a1 * (r^5 – 1) / (r – 1)
Problema 3:
Encontrar el término general de una sucesión aritmética decreciente y calcular el décimo, vigésimo y trigésimo término.
Solución:
En una sucesión aritmética decreciente, la diferencia es negativa. Entonces, la fórmula general
