La geometría es una disciplina que ha ocupado la mente de hombres y mujeres desde tiempos remotos. Desde la Antigüedad hasta nuestros días, la humanidad ha explorado los espacios y formas posibles del mundo que nos rodea. En este sentido, uno de los temas más apasionantes dentro de la geometría es el de las teselaciones y, más concretamente, el de los polígonos que permiten cubrir un plano sin que queden huecos ni se superpongan.
Polígonos regulares para cubrir el plano
Una teselación o teselado es un patrón que recubre completamente una superficie plana y no deja espacios ni figuras superpuestas. Para que un polígono pueda formar parte de un teselado, deben cumplirse una serie de requisitos. En primer lugar, el polígono debe ser regular, es decir, que sus lados y ángulos sean todos iguales. En segundo lugar, el polígono debe poder encajar de manera contigua con otros polígonos iguales en el plano, sin dejar huecos ni puntos de contacto.
De acuerdo con estas condiciones, solamente existen tres polígonos regulares que pueden cubrir completamente un plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. El triángulo se encaja con otros cinco triángulos alrededor de un punto central, el cuadrado lo hace con otros cuatro cuadrados, y el hexágono lo hace con otros tres hexágonos.
Estos patrones, también llamados teselados regulares, se han utilizado por distintas culturas a lo largo de la historia. Por ejemplo, algunos mosaicos sumerios con miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas. Además, Arquímedes estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano en el siglo III a.C., y Kepler también lo hizo en el siglo XVII en su obra Harmonice mundi.
Polígonos no regulares para cubrir el plano
Además de los polígonos regulares, otros polígonos que no son regulares también pueden cubrir el plano, como los triángulos y cuadriláteros en diferentes configuraciones.
Existen ciertos polígonos no regulares, como los hexágonos, que también pueden teselar el plano. En total, hay tres tipos de hexágonos no regulares que pueden teselar el plano. No obstante, el número de pentágonos irregulares que pueden cubrir el plano sin dejar huecos es mucho mayor. De hecho, existen 15 tipos de pentágonos irregulares que permiten realizar teselados.
El primer matemático en descubrir polígonos no regulares que cubrían el plano fue Karl Reinhardt en 1918. Más tarde, R.B. Kershner descubrió tres clases más de polígonos capaces de teselar el plano. El penúltimo pentágono fue descubierto por Rolf Stein en 1985. Recientemente, en la Universidad de Washington Bothell, se descubrió el pentágono número 15 capaz de cubrir el plano sin dejar huecos, con la ayuda de potentes ordenadores.
Polígonos que no cubren el plano
A diferencia de los polígonos mencionados anteriormente, los polígonos con 7 o más lados no tienen la virtud de teselar el plano. La razón es que, para que se produzca un teselado, es necesario que los polígonos se ajusten unos a otros sin dejar huecos. Sin embargo, a medida que aumenta el número de lados de un polígono, estos tienden a curvarse y no encajar con los demás.
Teselados semirregulares
Además de los teselados regulares y los teselados no regulares, existen también teselados semirregulares, que son aquellos que solo contienen polígonos regulares en su formación.
Únicamente existen ocho teselados semirregulares diferentes, los cuales fueron estudiados de manera sistemática por el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial. Estos teselados tienen una gran belleza intrínseca, y se utilizan en la decoración de edificios y en obras de arte.
El caso de M. C. Escher
En el mundo del arte, uno de los grandes maestros de las teselaciones fue el artista holandés M. C. Escher. Escher aprendió los teselados hiperbólicos por sugerencia del matemático H. S. M. Coxeter, y encontró inspiración en el palacio de La Alhambra en Granada. Gracias a su habilidad para el dibujo y a su conocimiento de la geometría, Escher creó numerosas obras de arte con teselados, que han inspirado a generaciones de artistas y matemáticos.
Conclusiones
En conclusión, los polígonos que permiten cubrir un plano sin dejar huecos ni superponerse, deben cumplir ciertas condiciones. En primer lugar, deben ser polígonos regulares, es decir, que tengan lados y ángulos iguales. Además, deben poder encajar de manera contigua con otros polígonos iguales para cubrir todo el plano sin dejar huecos ni superponerse.
Además de los tres polígonos regulares (el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular) existen otros polígonos no regulares, como los pentágonos, que también pueden teselar el plano. Estos polígonos no regulares pueden utilizarse para crear patrones interesantes y complejos, lo que los hace muy atractivos tanto desde el punto de vista matemático como estético.
En definitiva, las teselaciones y los polígonos que permiten cubrir el plano son un tema apasionante que sigue despertando el interés de matemáticos, artistas y aficionados en todo el mundo. Explorar las formas posibles de cubrir una superficie plana con figuras regulares e irregulares sigue siendo un reto fascinante para nuestra mente humana.
