La función identidad, también conocida como función lineal, forma parte de las funciones más simples y básicas de las matemáticas. Es, a su vez, una de las funciones más importantes en teoría de conjuntos. Su estudio es fundamental para la geometría analítica y ayuda a entender muchos problemas derivados de la física y las ingenierías.
No obstante, aunque es una de las funciones más básicas, a menudo surgen dudas acerca de su dominio. En este artículo, nos sumergiremos en la función identidad y exploraremos cuál es su dominio, cómo se determina su rango, cuál es su inversa y mucho más.
¿Qué es la función identidad?
La función identidad, también conocida como función de identidad, es una función matemática que devuelve el valor de su propio argumento. Es decir, su imagen es igual a su argumento. Puede ser definida por una ecuación polinómica de primer grado con una pendiente de 1, es decir, una fórmula de la forma:
y = id(x) = x
Como es una función lineal, su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0) y su pendiente es siempre 1. La función identidad se representa mediante la siguiente gráfica:
¿Cuál es el dominio de la función identidad?
El dominio de una función está formado por los valores de entrada que hacen que la función “tenga sentido”; es decir, que su imagen también tenga sentido. En el caso de la función identidad, como esta función acepta cualquier valor que se le dé como argumento, su dominio es simplemente el conjunto de todos los números reales.
Podemos escribir esto de la siguiente manera:
Dominio de la función identidad: D = {x: x es un número real}
Siguiendo con este razonamiento, podemos afirmar que el rango de la función identidad también es el conjunto de todos los números reales. Esto se debe a que, como la función identidad devuelve la misma salida que entrada, cada número real es una imagen en sí mismo.
Rango de la función identidad: R = {y: y es un número real}
¿Cómo se determina el rango de una función identidad?
El rango de una función se define como el conjunto de todos los valores que toma la función. En el caso de la función identidad, sabemos que cada valor real es una imagen de algún número real. Por lo tanto, su rango también es el conjunto de todos los números reales.
Podemos expresar esto de la siguiente manera:
Rango de la función identidad: R = {y: y es un número real}
¿Cómo se encuentra la inversa de la función identidad?
La función inversa de la función identidad es la función que, al aplicarse sobre su salida, devuelve su argumento inicial. Como la función identidad no tiene valores repetidos, se pueden encontrar fácilmente su inversa simplemente cambiando su variable independiente por la variable dependiente (y por x) en su fórmula y resolviendo para y.
De esta manera, la función inversa de la función identidad es la misma función identidad.
Inversa de la función identidad: f^(-1) = id(x) = x
Ahora bien, una vez que tenemos claro que la inversa de la función identidad es la función misma, podemos proceder a determinar su dominio y rango.
¿Cuál es el dominio y rango de la inversa de la función identidad?
Para hallar el dominio y rango de la inversa de la función identidad, es necesario recordar que su dominio y rango corresponden a los de la función original, es decir:
Dominio de la función identidad: D = {x: x es un número real}
Rango de la función identidad: R = {y: y es un número real}
Por lo tanto, el dominio y rango de la función inversa de la función identidad son los mismos que los de la función identidad, es decir:
Dominio de la inversa de la función identidad: D = {x: x es un número real}
Rango de la inversa de la función identidad: R = {y: y es un número real}
Las propiedades de la función identidad
La función identidad tiene ciertas propiedades que son importantes conocer para comprender la relación de esta función con otras funciones. Algunas de estas propiedades son:
Es una función lineal
Como se mencionó anteriormente, la función identidad es una función lineal que tiene una pendiente de 1 y pasa por el origen de coordenadas. Esta propiedad se puede expresar mediante la ecuación:
y = mx + b
Donde m es la pendiente y b es el punto de corte en el eje y.
En el caso de la función identidad, como la pendiente es 1 y el punto de corte es el origen, su ecuación es simplemente:
y = x
Es una función continua
Como es una función polinómica de primer grado, la función identidad es continua para todos los valores de su dominio (es decir, para todos los valores reales).
Es creciente
La función identidad es una función creciente, es decir, al incrementar el valor de x en una unidad, el valor de y también se incrementa en una unidad.
Es su propia inversa
Una propiedad interesante de la función identidad es que es su propia inversa. Esto se debe a que, como mencionamos anteriormente, al aplicar la función inversa a la función identidad, obtenemos la misma función identidad. De esta manera, podemos observar que:
id(id(x))=x
Es una función biyectiva
La función identidad es biyectiva, lo que significa que cada número real en su dominio tiene una única imagen. De esta manera, podemos afirmar que la función identidad es una función sobreyectiva y una función inyectiva.
Es una función simétrica
La función identidad es simétrica respecto al origen de coordenadas. Esto es evidentemente factible ya que, como la ecuación que la describe se puede escribir como y = x, tanto el eje x como el eje y son una línea simétrica para la función.
¿Cuál es la importancia de conocer el dominio de una función?
El dominio de una función es fundamental para entender cómo se comporta una función en relación a su input o entrada. El dominio nos dice cuáles son los valores que podemos introducir en una función para que ésta funcione correctamente. Al conocer el dominio, podemos establecer una serie de condiciones para que la función no de errores y podremos conocer cuáles son las limitaciones que presenta la función.
Por otro lado, el dominio de una función es la base para entender su rango. Si no conocemos el dominio de una función, es imposible conocer el rango.
Conozcamos ahora los dominios de otras funciones matemáticas
Es posible que, a partir de lo aprendido sobre la función identidad, te surjan preguntas acerca de cómo se determina el dominio de otras funciones matemáticas. Es por ello que a continuación se presentan brevemente algunos detalles importantes sobre los dominios de varias funciones matemáticas conocidas.
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas son una de las más básicas y extendidas en el mundo de las matemáticas. El dominio de una función polinómica es el conjunto de todos los números reales (como ya vimos en el caso de la función identidad).
Funciones racionales
Las funciones racionales, por su parte, son aquellas que toman la forma de un cociente de polinomios. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos valores que anulan su denominador.
Funciones radicales
Las funciones radicales son aquellas que contienen expresiones radicales, es decir, aquellas que se escriben con una raíz con índice y radicando. El dominio de las funciones radicales está determinado por las condiciones que deben cumplir sus radicandos. Para una función radical de índice impar, su dominio está formado por todos los valores reales, mientras que para una función radical de índice par, su dominio está formado por aquellos valores del radicando que hacen que éste sea mayor o igual que cero (debe existir, por tanto, la raíz).
Funciones logarítmicas y exponenciales
Las funciones logarítmicas y exponenciales son aquellas que contienen expresiones de la forma log(base a)(x) o a^x, respectivamente. Para la función logarítmica, el dominio está formado por todos los valores que hacen que la función que aparece dentro del logaritmo sea mayor que cero. En el caso de la función exponencial, el dominio es el conjunto de todos los números reales, menos aquellos que anulan el denominador del exponente.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas, como la función seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, representan las relaciones trigonométricas entre los ángulos y las propiedades de los triángulos. Para cada una de estas funciones, su dominio está formado por aquellos valores para los cuales la función es definida. Por ejemplo, el dominio de la función seno es todo número real, mientras que el dominio de la función coseno es similar. Sin embargo, se presume que el dominio de las funciones tangente, cotangente, secante
